第2课时　集合的表示

学 习 目 标

核 心 素 养

1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用．(重点)

2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)

1.通过学习描述法表示集合的方法，培养数学抽象的素养．

2．借助描述法转化为列举法时的运算，培养数学运算的素养.

1．列举法

把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．

2．描述法

一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．

思考：(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？

(2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？

提示：(1)元素的共同特征为x∈R，且x<5.

(2){x|x<5，x∈R}．

1．方程x2＝4的解集用列举法表示为(　　)

A．{(－2,2)}　　 B．{－2,2}

C．{－2} D．{2}

B　[由x2＝4得x＝±2，故用列举法可表示为{－2,2}．]

2．用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是(　　)

A．{x|y＝3x＋1} B．{y|y＝3x＋1}

C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1}

C　[该集合是点集，故可表示为{(x，y)|y＝3x＋1}，选C.]

3．用描述法表示不等式4x－5<7的解集为________．

{x|x<3}　[用描述法可表示为{x|x<3}．]

用列举法表示集合

【例1】　用列举法表示下列给定的集合：

(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；

(2)小于8的质数组成的集合B；

(3)方程2×2－x－3＝0的实数根组成的集合C；

(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.

[解]　(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}．

(2)小于8的质数有2,3,5,7，

所以B＝{2,3,5,7}．

(3)方程2×2－x－3＝0的实数根为－1，，

所以C＝.

(4)由得

所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)，

所以D＝{(1,4)}．

用列举法表示集合的3个步骤

(1)求出集合的元素；

(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；

(3)用花括号括起来.

提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.如{(2，3)，(5，－1)}.

1．用列举法表示下列集合：

(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；

(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；

(3)方程组的解组成的集合B；

(4)15的正约数组成的集合N.

[解]　(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素有－2，－1,0,1,2，故A＝{－2，－1,0,1,2}．

(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解为x＝2或x＝3，

∴M＝{2,3}．

(3)解得∴B＝{(3,2)}．

(4)15的正约数有1,3,5,15，故N＝{1,3,5,15}．

用描述法表示集合

【例2】　用描述法表示下列集合：

(1)比1大又比10小的实数组成的集合；

(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；

(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合．

[解]　(1){x∈R|1<x<10}．

(2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}．

(3){x|x＝3n＋1，n∈N}．

描述法表示集合的2个步骤

2.

用描述法表示下列集合：

(1)函数y＝－2×2＋x图象上的所有点组成的集合；

(2)不等式2x－3<5的解组成的集合；

(3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合；

(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．

[解]　(1)函数y＝－2×2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2×2＋x}．

(2)不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．

(3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为.

(4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．

,

集合表示方法的综合应用

[探究问题]

下面三个集合：

①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．

(1)它们各自的含义是什么？

(2)它们是不是相同的集合？

提示：(1)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的x∈R，所以实质上{x|y＝x2＋1}＝R；

集合②的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以实质上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；

集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1，所以{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．

(2)由(1)中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合．

【例3】　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．

[思路点拨]

[解]　(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；

(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．

综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．

1．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合．

[解]　由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根，故即k<1且k≠0.

所以实数k组成的集合为{k|k<1且k≠0}．

2．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值集合．

[解]　由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根．

①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意；

②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1.

综合①②可知，实数k的取值集合为{k|k≤1}．

1．若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3中集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．

2．在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想．

1．表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法，一般地，若集合元素为有限个，常用列举法，集合元素为无限个，多用描述法．

2．处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特别要分清数集和点集；其次要确定元素满足的条件是什么.

1．思考辨析

(1){1}＝1.(　　)

(2){(1,2)}＝{x＝1，y＝2}．(　　)

(3){x∈R|x>1}＝{y∈R|y>1}．(　　)

(4){x|x2＝1}＝{－1,1}．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是(　　)

A．{x|－3<x<11，x∈Z}

B．{x|－3<x<11}

C．{x|－3<x<11，x＝2k}

D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}

D　[由题意可知，满足题设条件的只有选项D，故选D.]

3．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是(　　)

A．{1，－2}　　　　 B．{x＝1，y＝－2}

C．{(－2,1)} D．{(1，－2)}

D　[由得∴两函数图象的交点组成的集合是{(1，－2)}．]

4．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，试用列举法表示集合A.

[解]　∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，

∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}．