信用卡欠款六千多，有可能会被起诉的，但不会抓你的。
1、如果是银行向法院提起民事诉讼的，则法院应该在受到诉讼材料之日起7日内决定是否受理。
2、如果你欠款金额达1万元的，经银行两次催收后超过3个月仍不归还的，则构成信用卡诈骗罪，应承担刑事责任。在公安机关立案侦查后，一般要经四个月左右的时间，才会由检察院向法院提起公诉。　　《最高人民法院、最高人民检察院关于办理妨害信用卡管理刑事案件具体应用法律若干问题的解释》　　
第六条持卡人以非法占有为目的，超过规定限额或者规定期限透支，并且经发卡银行两次催收后超过3个月仍不归还的，应当认定为刑法
第一百九十六条规定的“恶意透支”。　　有以下情形之一的，应当认定为刑法
第一百九十六条
第二款规定的“以非法占有为目的”：　　
（一）明知没有还款能力而大量透支，无法归还的；　　
（二）肆意挥霍透支的资金，无法归还的；　　
（三）透支后逃匿、改变联系方式，逃避银行催收的　　
（四）抽逃、转移资金，隐匿财产，逃避还款的；　　
（五）使用透支的资金进行违法犯罪活动的；　　
（六）其他非法占有资金，拒不归还的行为。　　恶意透支，数额在1万元以上不满10万元的，应当认定为刑法
第一百九十六条规定的“数额较大”；数额在10万元以上不满100万元的，应当认定为刑法
第一百九十六条规定的“数额巨大”；数额在100万元以上的，应当认定为刑法
第一百九十六条规定的“数额特别巨大”。